第一章 多元函数微分学及其应用

第一节 $n$维Euclid空间中$\mathbb{R}^n$中的点集

1.1 $n$维Euclid空间

1. $n$维实向量

   $$x = (x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n) \quad (x_i \in \mathbb{R}, i = 1, 2, 3, \ldots, n)$$

2. $n$维实向量空间
   由$n$维实向量线性变化得到（引入了线性运算）。

3. 长度/范数

   $\sqrt{ \langle x, x \rangle } = \sqrt{ x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 }$

1.2 第二型曲线积分（对坐标的积分）

1. 定义
   设函数$f(x, y)$在光滑曲线$L$上有定义，对$L$的可求长子段，此线积分都存在，则称此时线积分收敛，称$\int_{L} f(x, y) ds$为第一型曲线积分（对弧长的积分）。

2. 基本性质

   • 性质1（线性性）：设$k_{1}$和$k_{2}$为常数，则$\int_{L} \left[ k_{1} f(x, y) \pm k_{2} g(x, y) \right] ds = k_{1} \int_{L} f(x, y) ds \pm k_{2} \int_{L} g(x, y) ds$
   • 性质2（路径可加性）设积分弧段$L$可分为两段光滑曲线弧$L_{1}, L_{2}$，则$\int_{L} f(x, y) ds = \int_{L_{1}} f(x, y) ds + \int_{L_{2}} f(x, y) ds$

1.2 点列极限

• 定义

  $$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}_+, \text{使得} \forall k > N, \text{恒有} \| x_k - a \| < \epsilon$$

  称点列 $\{ x_k \}$ 收敛于 $a$。

• 定理

  $$\text{设点列 } \{ x_k \} \subseteq \mathbb{R}^n, \text{点 } a \in \mathbb{R}^n, \text{则 } \lim_{k \to \infty} x_k = a \text{ 的充要条件是 } \forall i = 1, 2, \ldots, n, \text{都有 } \lim_{k \to \infty} x_{k,i} = a_i.$$

• 由一元数列极限拓展至多元数列极限，可得以下结论

  • $\{ x_k \}$ 的极限唯一。
  • $\{ x_k \}$ 一定为有界点列。
  • 若 $x_k \to a$, $y_k \to b$, 则 $x_k$, $y_k$ 满足线性性质。
  • 若 $x_k$ 收敛于 $a$, 则其任意子点列也收敛于 $a$。
  • 单调性、保序性、确界、商等概念与命题在 $\mathbb{R}^n$ 不能直接推广，但 Bolzano-Weierstrass 定理与 Cauchy 收敛原理在 $\mathbb{R}^n$ 仍然成立。

1.3 $\mathbb{R}^n$中的开闭集

• $\mathbb{R}^n$ 中点集的基本概念

• 聚点 (Limit Point)
  设 $A \subset \mathbb{R}^n$，点 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 称为 $A$ 的聚点，如果对任意 $\varepsilon > 0$，邻域 $B(\mathbf{x}, \varepsilon)$ 中总包含 $A$ 中不同于 $\mathbf{x}$ 的点，即：

  $$\forall \varepsilon > 0, \quad B(\mathbf{x}, \varepsilon) \cap \left( A \setminus \{ \mathbf{x} \} \right) \neq \emptyset.$$

• 导集 (Derived Set)
  集合 $A \subset \mathbb{R}^n$ 的所有聚点构成的集合称为 $A$ 的导集，记作 $A'$，即：

  $$A' = \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid \mathbf{x} \text{ 是 } A \text{ 的聚点} \right\}.$$

• 闭包 (Closure)
  集合 $A \subset \mathbb{R}^n$ 的闭包是 $A$ 与其导集 $A'$ 的并集，记作 $\overline{A}$，即：

  $$\overline{A} = A \cup A'.$$

• 孤立点 (Isolated Point)
  点 $\mathbf{x} \in A \subset \mathbb{R}^n$ 称为 $A$ 的孤立点，如果存在 $\varepsilon > 0$，使得邻域 $B(\mathbf{x}, \varepsilon)$ 中除 $\mathbf{x}$ 外不含 $A$ 的其他点，即：

  $$\exists \varepsilon > 0, \quad B(\mathbf{x}, \varepsilon) \cap A = \{ \mathbf{x} \}.$$

• 闭集 (Closed Set)
  集合 $A \subset \mathbb{R}^n$ 称为闭集，如果它包含其所有聚点，即：

  $$A' \subset A \quad \text{或等价地} \quad \overline{A} = A.$$

• 邻域
  设 $\alpha \in \mathbb{R}^n$, $\delta > 0$，称点集

  $$U(\alpha, \delta) = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \| x - \alpha \| < \delta \}$$

  为以 $\alpha$ 为中心，$\delta$ 为半径的开球或点 $\alpha$ 的 $\delta$ 邻域，称

  $$\mathring{U}(\alpha, \delta) = U(\alpha, \delta) \setminus \{ \alpha \}$$

  为 $\alpha$ 的去心 $\delta$ 邻域。

• 内点、外点、边界点
  设 $A \subseteq \mathbb{R}^n$, $a \in \mathbb{R}^n$。

  1. 若存在 $\delta > 0$, 使 $U(a, \delta) \subseteq A$, 则称 $a$ 是集 $A$ 的内点。由 $A$ 的所有内点构成的集合称为 $A$ 的内部，记作 $A^\circ$ 或 $\text{int}A$。
  2. 若存在 $\delta > 0$, 使 $U(a, \delta) \cap A = \emptyset$, 则称 $a$ 是集 $A$ 的外点。$A$ 的所有外点构成的集合称为 $A$ 的外部，记作 $\text{ext}A$。
  3. 若对任何 $\delta > 0$, $U(a, \delta)$ 中既含有 $A$ 中的点，也含有 $A$ 的余集 $A^c$ 中的点，则称 $a$ 为集 $A$ 的边界点。$A$ 的所有边界点构成的集合称为 $A$ 的边界，记作 $\partial A$.

  

• 开集
  设 $A \subseteq \mathbb{R}^n$，若 $A \subseteq A^\circ$，即 $A$ 中所有点全是 $A$ 的内点，则称 $A$ 为开集。

1.4 $\mathbb{R}^n$中的紧集与区域

• 有界集
  设 $A$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个点集，如果存在一个常数 $M > 0$，使得 $\forall x \in A$，都有 $\| x \| \leq M$，则称 $A$ 是有界集，否则称为无界集。

• 紧集
  设 $A$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个点集，若 $A$ 是有界闭集，则称 $A$ 为紧集。

• 连通集与区域
  设 $A \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个点集，如果 $A$ 中的任意两点 $x$ 与 $y$ 都能用完全属于 $A$ 的有限个线段 $O$ 联结起来，则称 $A$ 是连通集。连通的开集称为区域。区域与其边界之并称为闭区域。

第二节 多元函数的极限与连续性

2.1 多元函数概念

• $n$ 元数量值函数

  $$\text{设 } A \subseteq \mathbb{R}^n \text{ 是一个点集，称 } f: A \to \mathbb{R} \text{ 是定义在 } A \text{ 上的一个 } n \text{ 元数量值函数，简称 } n \text{ 元函数，记作：}$$ $$w = f(x) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$

• 等值线

• 等值面

• $n$ 元向量值函数

  $$\text{设 } A \subseteq \mathbb{R}^n \text{ 是一个点集，称 } f: A \to \mathbb{R}^m (m \geq 2) \text{ 是定义在 } A \text{ 上的一个 } n \text{ 元向量值函数。也可以记作：}$$ $$y = f(x), \quad x \in A,$$ $$\text{其中 } x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in A, \quad y = (y_1, y_2, \ldots, y_m) \in \mathbb{R}^m, \quad f = (f_1, f_2, \ldots, f_m)$$

2.2 多元函数的极限与连续性

• 二重极限或 $n$ 重极限
• 二元连续函数或 $n$ 元连续函数

第三节 多元数量值函数的导数与微分

3.1 偏导数

• 偏导数的定义
  设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某一邻域 $U(x_0, y_0)$ 内有定义，固定 $y = y_0$，$x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\Delta x$，$(x_0 + \Delta x, y_0) \in U(x_0, y_0)$，如果极限

  $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

  存在，则称此极限值为函数 $z = f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处对于 $x$ 的偏导数，记作

  $$f_x(x_0, y_0), \quad z_x(x_0, y_0), \quad \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial x}.$$

• 二元函数偏导数的几何意义
  空间中曲面被截后的交线：

  $$f_x(x_0, y_0) = \begin{cases} z = f(x, y) \\ y = y_0 \end{cases} \Rightarrow f_x(x_0, y_0) = \tan \alpha$$
  • 注意：某点处可偏导 $\neq$ 此点连续 $\neq$ 此点可导。
    原因：存在偏导仅证明沿 $x$ 轴和 $y$ 轴方向趋近某点时存在该方向上的导数，证明该点连续还需证明任意路径上的方向导数。

3.2 全微分

• 定义
  设函数 $z = f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，且函数在 $(x_0, y_0)$ 处的全增量 $\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$ 可以表示为：

  $$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho), \quad \text{其中 } \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

  前两项为线性主部（全微分），其中 $A \Delta x$ 和 $B \Delta y$ 为偏微分。

• 可微的等价定义

  $$z = f(x, y) \text{ 在点 } (x_0, y_0) \text{ 可微 } \equiv \Delta z - (A \Delta x + B \Delta y) = o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$ $$\equiv \lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \frac{\Delta z - A \Delta x - B \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = 0$$

  其中 $A$ 与 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$，仅与 $x_0$，$y_0$ 有关。

• 由全增量推导偏增量

  $$dz = f_x dx + f_y dy$$

• 可微的充分条件
  若函数 $z = f(x, y)$ 的偏导数 $f_x'(x, y)$，$f_y'(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 连续，则函数 $z = f(x, y)$ 可微。

• 多元函数微分学中，$f(x, y)$ 在某点 $(x_0, y_0)$ 处：

  • $f_x'(x, y)$，$f_y'(x, y)$ 连续
  • 可微
  • 可偏导，连续

  

3.3 方向导数与梯度

• 背景
  偏导数 $f_x$, $f_y$ 描述二元函数在 $(x_0, y_0)$ 处沿 $x$ 轴、$y$ 轴平行方向的变化率，拓展至任意方向。

• 定义
  设 $x_0 \in \mathbb{R}^2$，$l$ 是平面内某向量，$e_l$ 为其单位向量，$f: U(x_0) \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 是一个二元函数，$l$ 方向的偏导数记作：

  $$\frac{\partial f}{\partial l} \bigg|_{x_0}$$

  对应方程为：

  $$x = x_0 + t e_l$$

  可看作 $x$ 的一元函数，定义为：

  $$\frac{\partial f}{\partial l} \bigg|_{x_0} = \frac{d F(t)}{dt} \bigg|_{t=0} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t e_l) - f(x_0)}{t}$$

  其中 $t$ 的绝对值为 $x_0$ 和 $x = x_0 + t e_l$ 两点的距离 $d$。

• 方向导数的意义
  方向导数是函数 $f$ 在 $x_0$ 处沿 $l$ 方向关于距离的变化率。
  正负代表沿 $l$ 方向函数值的增加或减小，非寻常导数含义。
  几何意义：过直线 $l$ 做与 $z$ 平行的平面，与函数交曲线在 $(x_0, y_0)$ 处的切线与向量 $l$ 的正切值。

  [!NOTE] ：表述为与向量的正切值，其正负号含义需审慎。

• 左右方向导数
  对应于一元函数的左右导数，在同一点存在 $t \to 0^+$ 与 $t \to 0^-$ 的两个方向导数。

• 定理
  若 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处可微，则函数 $f$ 在点 $(x_0, y_0)$ 沿任意方向的方向导数均存在，且：

  $$\frac{\partial f}{\partial l} \bigg|_{(x_0, y_0)} = f_x(x_0, y_0) \cos \alpha + f_y(x_0, y_0) \cos \beta$$

  其中 $l$ 方向上的单位向量为 $e_l = (\cos \alpha, \cos \beta)$。

• 梯度
  某点某方向导数的最大值，其模为函数在该点方向导数的最大值，记为 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处的梯度，记作 $\text{grad} f(x_0, y_0)$：

  $$\nabla f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0) \mathbf{i} + f_y(x_0, y_0) \mathbf{j}$$

  其中 $\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y} \right)$，表示为：

  $$\nabla f(x_0, y_0) = \left( \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x}, \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} \right)$$

  注意：梯度是向量，方向导数是标量。

• 方向导数与梯度关系

  $$\frac{\partial f}{\partial l} \bigg|_{(x_0, y_0)} = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \vec{e_l}$$

第四节 多元数量值函数的导数与微分

全微分

• 定义
  设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内有定义，若全增量 $\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$ 可表示为：$$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho), \quad \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$ 其中 $A, B$ 仅与 $(x_0, y_0)$ 有关，则称 $f$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，线性主部 $A \Delta x + B \Delta y$ 称为全微分，记作：$$dz = f_x(x_0, y_0) dx + f_y(x_0, y_0) dy$$

第五节 隐函数存在定理与隐函数求导

5.1 隐函数存在定理

• 单方程情形
  设 $F(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的邻域内连续可微，且 $F(x_0, y_0) = 0$，$F_y(x_0, y_0) \neq 0$，则存在唯一函数 $y = f(x)$ 满足：

  1. $F(x, f(x)) = 0$；
  2. $f(x)$ 可导，且导数为： $$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

• 方程组情形
  对于方程组 $\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$，若雅可比行列式 $\frac{\partial (F, G)}{\partial (y, z)} \neq 0$，则可解出 $y = y(x)$，$z = z(x)$，导数通过联立方程求解。

5.2 隐函数求导

• 单变量隐函数
  对 $F(x, y) = 0$，两边对 $x$ 求导，得：

  $$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

• 多变量隐函数
  对 $F(x, y, z) = 0$，求偏导数时固定其他变量，例如：

  $$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$$

第六节 多元函数的泰勒公式

• 二元函数的泰勒展开
  设 $f(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 的邻域内具有 $(n+1)$ 阶连续偏导数，则：

  $$f(a + h, b + k) = \sum_{m=0}^n \frac{1}{m!} \left( h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y} \right)^m f(a, b) + R_n$$

  余项 $R_n$ 为 $(h^2 + k^2)^{(n+1)/2}$ 的高阶无穷小。

• 应用

  • 近似计算函数值；
  • 判断极值（结合二阶项）。

第七节 极值问题与拉格朗日乘数法

7.1 无约束极值

• 必要条件
  若 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处取得极值，则 $f_x(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0$。

• 充分条件
  设 $H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$ 为 Hessian 矩阵：

  • 若 $H$ 正定，则 $(x_0, y_0)$ 为极小值点；
  • 若 $H$ 负定，则为极大值点。

7.2 拉格朗日乘数法（条件极值）

• 问题
  求 $f(x, y, z)$ 在约束 $g(x, y, z) = 0$ 下的极值。

• 方法
  构造拉格朗日函数：

  $$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) + \lambda g(x, y, z)$$

  解方程组：

  $$\nabla \mathcal{L} = 0 \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} f_x + \lambda g_x = 0 \\ f_y + \lambda g_y = 0 \\ f_z + \lambda g_z = 0 \\ g = 0 \end{cases}$$

第八节 多元向量值函数的导数与微分

• 定义
  设 $\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，其导数（雅可比矩阵）为：

  $$\mathbf{F}'(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$

• 微分法则

  • 线性性：$(\alpha \mathbf{F} + \beta \mathbf{G})' = \alpha \mathbf{F}' + \beta \mathbf{G}'$；
  • 链式法则：$(\mathbf{F} \circ \mathbf{G})'(x) = \mathbf{F}'(\mathbf{G}(x)) \cdot \mathbf{G}'(x)$。

第九节 微分学在几何中的应用

9.1 空间曲线的切线与法平面

• 参数方程
  曲线 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$，在点 $t_0$ 处：
  • 切线方向向量：$\mathbf{r}'(t_0) = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$；
  • 切线方程：$\frac{x - x_0}{x'(t_0)} = \frac{y - y_0}{y'(t_0)} = \frac{z - z_0}{z'(t_0)}$；
  • 法平面方程：$x'(t_0)(x - x_0) + y'(t_0)(y - y_0) + z'(t_0)(z - z_0) = 0$.

9.2 空间曲面的法线与切平面

• 隐式方程
  曲面 $F(x, y, z) = 0$，在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 处：
  • 法向量：$\nabla F = (F_x, F_y, F_z)$；
  • 切平面方程：$F_x(x - x_0) + F_y(y - y_0) + F_z(z - z_0) = 0$；
  • 法线方程：$\frac{x - x_0}{F_x} = \frac{y - y_0}{F_y} = \frac{z - z_0}{F_z}$.

第十节 弧长与曲率

10.1 弧长

• 参数曲线
  曲线 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$，弧长微分：$$ds = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2} \, dt$$ 区间 $[a, b]$ 的弧长为：$$L = \int_a^b \| \mathbf{r}'(t) \| \, dt$$

10.2 曲率

• 平面曲线
  曲线 $y = f(x)$，曲率公式：

  $$\kappa = \frac{| f''(x) |}{\left( 1 + (f'(x))^2 \right)^{3/2}}$$

• 参数曲线
  曲线 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$，曲率为：

  $$\kappa = \frac{| x' y'' - y' x'' |}{\left( (x')^2 + (y')^2 \right)^{3/2}}$$

• 几何意义
  曲率描述曲线在某点的弯曲程度，值越大弯曲越剧烈。

第二章 二重积分

[!NOTE] 所有积分必须注意的四个要点

• 每一种积分的实际意义
• 每一种积分的定义
• 每一种积分的性质
• 每一种积分的计算

第一节 二重积分的定义与性质

• 定义
  设 $f(x, y)$ 是定义在有界闭区域 $D \subseteq \mathbb{R}^2$ 上的有界函数。将 $D$ 任意分割为 $n$ 个小区域 $\Delta \sigma_i$，任取点 $(\xi_i, \eta_i) \in \Delta \sigma_i$，若极限

  $$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$$

  存在且与分割和取点无关，则称此极限为 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作：

  $$\iint_D f(x, y) \, d\sigma$$

• 性质

  1. 线性性：积分对函数可加，常数可提到积分号外；
  2. 区域可加性：若 $D = D_1 \cup D_2$，则积分可分解；
  3. 保序性：若 $f \geq g$，则积分值满足 $\iint_D f \, d\sigma \geq \iint_D g \, d\sigma$；
  4. 中值定理：存在 $(\xi, \eta) \in D$，使得 $\iint_D f \, d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot \text{Area}(D)$。

第二节 二重积分的计算

• 直角坐标系

  • 累次积分：
    若 $D$ 为 $X$-型区域（上下界由函数确定）：$$\iint_D f(x, y) \, dx dy = \int_a^b \left( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \, dy \right) dx$$ $Y$-型区域同理，交换积分次序可简化计算。

• 极坐标系

  • 变量替换：$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$，雅可比行列式 $J = r$，积分公式为：$$\iint_D f(x, y) \, d\sigma = \iint_{D'} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \, dr d\theta$$ 适用于积分区域为圆形、扇形或含 $x^2 + y^2$ 的被积函数。

第三节 二重积分的应用

1. 几何应用

   • 平面区域面积：$\text{Area}(D) = \iint_D 1 \, d\sigma$；
   • 空间曲面体积：$V = \iint_D | f(x, y) | \, d\sigma$.

2. 物理应用

   • 质心坐标：$\bar{x} = \frac{1}{M} \iint_D x \rho \, d\sigma$, $\bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \rho \, d\sigma$，其中 $\rho$ 为密度；
   • 转动惯量：$I_x = \iint_D y^2 \rho \, d\sigma$.

[!NOTE] 二重积分证明题需要注意的几个要点

• 积分与积分变量字母无关
• 与积分变量无关量可以自由进出
• 二重积分可看做二次积分过程
• 常数可以看做区间长

第三章 三重积分

第一节 三重积分的定义与性质

• 定义
  设 $f(x, y, z)$ 是定义在空间有界闭区域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 上的有界函数，类似二重积分，三重积分定义为：$$\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dV = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i$$ 性质与二重积分类似（线性性、区域可加性、保序性等）。

第二节 三重积分的计算

• 直角坐标系

  • 投影法（先一后二）：
    将 $\Omega$ 投影到 $xy$-平面得区域 $D$，则：$$\iiint_\Omega f \, dV = \iint_D \left( \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x, y, z) \, dz \right) dx dy$$
  • 截面法（先二后一）：
    对固定 $z$ 的截面 $D(z)$，积分公式为：$$\iiint_\Omega f \, dV = \int_a^b \left( \iint_{D(z)} f(x, y, z) \, dx dy \right) dz$$

• 柱坐标系与球坐标系

  • 柱坐标：$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, $z = z$，雅可比行列式 $J = r$，公式：$$\iiint_\Omega f \, dV = \iiint_{\Omega'} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \cdot r \, dr d\theta dz$$
  • 球坐标：$x = \rho \sin \phi \cos \theta$, $y = \rho \sin \phi \sin \theta$, $z = \rho \cos \phi$，雅可比行列式 $J = \rho^2 \sin \phi$，公式：$$\iiint_\Omega f \, dV = \iiint_{\Omega'} f(\rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \cdot \rho^2 \sin \phi \, d\rho d\phi d\theta$$

第三节 三重积分的应用

1. 几何应用

   • 空间区域体积：$V = \iiint_\Omega 1 \, dV$；

2. 物理应用

   • 质量：$M = \iiint_\Omega \rho(x, y, z) \, dV$；
   • 质心坐标：$\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_\Omega x \rho \, dV$，其余分量类似。

第四章 曲线积分

第一节 第一类曲线积分

1. 对于任何积分，我们都需要考虑三个部分：积分限，被积函数，积分微元 第一类曲线积分，与定积分最直接的区别即为：积分微元变换为ds

2. 几个运算性质

   • 性质1（线性性）：设$k_{1}$和$k_{2}$为常数，则$$\int_{L} \left[ k_{1} f(x, y) \pm k_{2} g(x, y) \right] ds = k_{1} \int_{L} f(x, y) ds \pm k_{2} \int_{L} g(x, y) ds$$
   • 性质2（路径可加性）设积分弧段$L$可分为两段光滑曲线弧$L_{1}, L_{2}$，则$$\int_{L} f(x, y) ds = \int_{L_{1}} f(x, y) ds + \int_{L_{2}} f(x, y) ds$$
   • 性质3 $\int_{L} 1 ds = s$ (L 的弧长).

3. 计算方法：化定积分

   [!NOTE]

   $L$是对于$x$,$y$的约束，求第一类曲线积分相当于带入约束求定积分

   二元弧长公式，三元同理可直接推广

   • 直角坐标: $L: y = y(x) (a \leq x \leq b)$, 则 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [y'(x)]^2} dx$.

   • 参数方程: $L: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} (\alpha \leq t \leq \beta)$, 则 $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} dt$.

   • 极坐标: $L: r = r(\theta) (\alpha \leq \theta \leq \beta)$, 则 $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2} d\theta$.

   • 形心公式

     $$\begin{cases} \int_Lx \, ds = \bar{x} \cdot\int_L \, ds\\ \int_Ly \, ds = \bar{y} \cdot\int_L \, ds\\ \end{cases}$$

     对于只对x、y、z进行积分的公式，且几何中心也容易寻找的第一类曲线积分，则可以直接使用形心公式求解

第二节 第二类曲线积分

0. 一二类曲线积分的区别？

   • 积分元素的区别

   • 第二类积分方向性的积分，与路径有关

   • 几个性质：

     • 性质1（线性性）：设$k_{1}$和$k_{2}$为常数，则
     $$\int_{L} \left[ k_{1} f(x, y) \pm k_{2} g(x, y) \right] ds = k_{1} \int_{L} f(x, y) ds \pm k_{2} \int_{L} g(x, y) ds$$
     • 性质2（路径可加性）：设有向分段光滑曲线$L = L_1 + L_2$（且$L_1$和$L_2$方向相同），则
     $$\int_{L} P(x, y) dx + Q(x, y) dy = \int_{L_{1}} P(x, y) dx + Q(x, y) dy + \int_{L_{2}} P(x, y) dx + Q(x, y) dy$$
     • 性质3 （方向性）：设有向曲线弧$L$，$L^-$表示与$L$方向相反的曲线，则
   $$\int_{L} P(x, y) dx + Q(x, y) dy = - \int_{L^-} P(x, y) dx + Q(x, y) dy$$

1. 求解方法：

   • 结合做功，可以转换为统一积分变量或者转换为参数方程 例如： 转化积分变量统一； 根据积分轨迹找到合适的参数方程构造单积分变量后重新定限，变为定积分

   • 格林公式

     • 适用条件：平面 第二类 曲线 积分
     • 若
       • 平面有界闭区域 $D$
       • 在区域 $D$ 上具有一阶连续偏导数
       • $L$ 取正向
       则有：$$\oint_LPdx + Qdy = \iint_D\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) d\sigma$$
     • 单连通区域 和 复连通区域 都适用（注意正方向 左侧始终为区域）
     • 挖洞法

   • 斯托克斯方法——解决空间中的第二类曲线积分

     $$\oint_LPdx + Qdy + Rdz= \iint_D\left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dydz+\left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dzdx+\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy$$

     轮换关系与格林公式等同，可以结合记忆 可投影到平面降维为格林公式（ $R$ 与 $z$ 表示成 $x$ 与 $y$ 的函数，实现降维的格林公式）

2. 平面曲线积分 与路径无关 的 充要条件

   设D为 单连通 区域.函数 $P(x,y)$, $Q(x,y)$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导数,则以下命题等价:

   ① 在 $D$ 内对 任一分段 光滑的封闭曲线 $C$, 有 $\oint_{C}Pdx+Qdy=0$ ;

   ② 在 $D$ 内 任一曲线积分 $\int_{L}Pdx+Qdy$ 与路径无关;

   ③ **（最重要）**在 $D$ 内对恒有 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 成立;

   ④ 存在 二元函数 $u(x,y)$ ,使 $du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ ;（全微分）

   ⑤ $P(x,y)i+Q(x,y)j$ 为某二元函数 $u(x,y)$ 的梯度.

3. 全微分方程 与 原函数 计算公式

   • 如果微分方程 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 的左端恰好是某个 $u(x,y)$ 的全微分, 则称为全微分方程. 其隐式通解为 $u(x,y)=C$, $C$ 是任意常数
   • $u(x,y)$ 计算公式: $$u(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C = \int_{x_0}^{x} P(x,y_0)dx + \int_{y_0}^{y} Q(x,y)dy + C$$ 注: 也可用凑微分法求 $u(x,y)$

4. 两类曲线积分的联系？

   • 公式：$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_L\left[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta\right]ds.$
   • 其中 $\cos\alpha$ ,$\cos\beta$为有向曲线$L$沿正向切向量的方向余弦。

第五章 曲面积分

第一节：第一类曲面积分

1. 意义：三要素 在曲面上积分，被积函数代表面密度，积分元素为 $dS$

2. 计算：设曲面 $\Sigma : z = z(x, y)$为单值函数，$\Sigma$ 在 $xoy$ 平面内的投影为 $D_{xy}$，且 $z = z(x, y)$ 在 $D_{xy}$ 具有连续偏导数，则：

   $$\iint_{\Sigma}f(x, y, z) \, dS = \iint_{D_{xy}}f(x, y, z(x, y))\sqrt{1 + {z_x^{'}}^2 + {z_y^{'}}^2} \, dxdy$$

   口诀：一投二代三计算 常考 $dS$ ：

   • 柱面 $x^2 + y^2 = R^2$ : $dS = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2}}dxdz$ （特别注意：圆柱侧面不能向圆柱底面投影）
   • 球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ : $dS = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}}dxdy$
   • 圆锥面 $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ : $dS = \sqrt{2}dxdy$

3. 性质：

   • 性质1（线性性）：设$k_{1}$和$k_{2}$为常数，则

     $$\iint_{\Sigma} \left[ k_{1} f(x, y, z) \pm k_{2} g(x, y, z) \right] dS = k_{1} \iint_{\Sigma} f(x, y, z) dS \pm k_{2} \iint_{\Sigma} g(x, y, z) dS$$

   • 性质2（路径可加性）设积分曲面 $\Sigma$ 可分为两片光滑曲线弧$\Sigma_{1}, \Sigma_{2}$，则

     $$\iint_{\Sigma} f(x, y, z) dS = \iint_{\Sigma_{1}} f(x, y, z) dS + \iint_{\Sigma_{2}} f(x, y, z) dS$$

   • 性质3 $\iint_{\Sigma} 1 dS = S$ ($\Sigma$ 的面积).

   • 轮换对称性

   • 形心公式