2025.10.20 有小登在群里问线性代数，由于有点忘了于是回来翻博客，意外发现我草之前不小心删掉了，找了半天没找到，只能从 github commit history 里面找到渲染完的 html 然后用 copilot 修复了一下。哎凑活看吧。

线性代数复习提纲

一、行列式

1. 行列式的计算

• 行列式展开定理
• 逆序数

2. 行列式的性质

不变性

• 转置：将第 $i$ 行转变为第 $i$ 列
• 倍加：某行（列）加上另一行（列）的 $k$ 倍

改变性质

• 倍乘：从一行（列）中提取公因子
• 交换：交换两行（列），注意变号
• 拆分：对于某一行（列）拆成两个行列式的和

归零性质

• 有零行（列）
• 有成比例的行（列）

3. $|A| \neq 0$ 意味着什么

• 矩阵：$r(A) = n$，矩阵可逆
• 方程组：有唯一解
• 向量组：线性无关
• 特征值与特征向量：不含 $0$ 特征值

4. 特殊类型的行列式（计算）

行（列）和相等

加到同一行，提取因子，用该行（列）将其化为主对角型行列式

爪形行列式

用中间的爪子依次倍加，直到化为主对角型行列式

5. 范德蒙德行列式

$$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$

6. 分块矩阵的行列式

$$\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B| \qquad \begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|$$

7. 拉普拉斯公式

分块矩阵的展开定理，按某一块行（列）展开

8. 行列式展开定理

$$D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} \quad C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

其中 $M_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的余子式，$C_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式

二、矩阵

1. 矩阵的运算

• 对加法和数乘满足线性性质
• 矩阵的乘法：注意内标相同，对左侧行向量和右侧列向量进行求内积的操作

2. 逆矩阵

存在逆矩阵的条件：$|A| \neq 0$

定义：某个矩阵 $\times$ 逆矩阵 $= E$

伴随矩阵

对于任意的 $n \times n$ 矩阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 定义为：

$$A^* = C^\top \quad \text{其中 } C \text{ 是矩阵 } A \text{ 的代数余子式矩阵}$$

逆矩阵的计算方法

$$A^* = |A|A^{-1}$$ $$(A,E) \rightarrow (E,A^{-1})$$（初等行变换法）

3. 矩阵的幂

相似对角化

$$\text{设 } A \sim \Lambda, \text{ 则 } A^n = P^{-1} \Lambda^n P$$

4. 矩阵的秩

初等行变换

• 将某一行的 $k$ 倍加到另一行
• 将某一行变为原来的 $k$ 倍
• 交换两行

秩的性质

• 行最简型矩阵中非零行行数
• 有效方程个数
• 非零子式的最高阶数
• 独立向量个数

秩公式

$$r(A) = r(A^\top) = r(AA^\top) = r(A^\top A)$$

秩不等式

$$r(AB) \leq \begin{cases} r(A) \\ r(B) \end{cases} \leq \begin{cases} r(A,B) \\ r\left(\begin{smallmatrix} A \\ B \end{smallmatrix}\right) \end{cases} \leq r(A) + r(B)$$ $$r(AB) \geq r(A) + r(B) - n$$

相似等秩

$$A \sim B \Rightarrow r(A) = r(B)$$

可逆变换不改变秩

$$\text{若 } P, Q \text{ 可逆，则 } r(PAQ) = r(A)$$

矩阵相乘等于零

$$A_{m \times n} B_{n \times l} = O \Rightarrow r(A) + r(B) \leq n$$

伴随矩阵的秩

$$r(A^*) = \begin{cases} n, & r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) < n-1 \end{cases}$$

三、向量组

1. 具体向量组的线性相关性

• 相关：$r(a_1, a_2, \ldots, a_m) < m$
• 无关：$r(a_1, a_2, \ldots, a_m) = m$

2. 抽象向量组的线性相关性

• 相关：存在不全为零的 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 使 $k_1 a_1 + k_2 a_2 + \cdots + k_m a_m = 0$
• 无关：仅当 $k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$ 时成立

3. 极大线性无关组与线性表出

将向量组写成列向量进行初等行变换，行最简型中主元列构成极大无关组

四、方程组

非齐次方程组解的情况

• 唯一解：$r(A) = r(A,b) = n$
• 无穷多解：$r(A) = r(A,b) < n$
• 无解：$r(A) < r(A,b)$

齐次方程组解的情况

• 零解：$r(A) = n$
• 无穷多解：$r(A) < n$，基础解系个数为 $n - r(A)$

五、相似

1. 特征值与特征向量

特征方程

$$\det(A - \lambda E) = 0$$

特征值的性质

• 特征值对应矩阵变换 $A$，特征向量不变方向
• 矩阵 $kA$ 的特征值为 $k\lambda$，特征向量不变
• 矩阵 $A^m$ 的特征值为 $\lambda^m$，特征向量不变
• 矩阵 $A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{1}{\lambda}$，特征向量不变

特征值的数量性质

• 所有特征值之和等于矩阵的迹：$\sum \lambda_i = \text{tr}(A)$
• 所有特征值的乘积等于行列式：$\prod \lambda_i = |A|$

2. 相似对角化

条件：充要条件是存在 $n$ 个线性无关的特征向量，矩阵可对角化

可对角化的充分条件

• 实对称矩阵必可对角化
• 秩为 $n$ 的矩阵
• 特征值互异的矩阵

正交对角化

对于实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵

六、二次型

1. 二次型的定义与矩阵表示

二次型是关于多个变量的二次齐次多项式，可以表示为矩阵形式：

$$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = x^T A x$$

其中 $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，$A$ 是对称矩阵

2. 二次型的标准化方法

配方法：逐步配方，最后化为标准型 $f = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_n y_n^2$

正交变换法：通过正交变换 $x = Py$ 将二次型化为标准型

$$f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2$$

其中 $\lambda_i$ 是对称矩阵 $A$ 的特征值，$P$ 的列向量是对应的正交特征向量

3. 惯性定理

二次型通过不同的可逆变换化为的标准型中，正项的个数（正惯性指数）和负项的个数（负惯性指数）保持不变，与所用变换无关

记号：设正惯性指数为 $p$，负惯性指数为 $q$，则 $p + q \leq n$

4. 规范型

任何二次型都可以化为规范型：

$$f = z_1^2 + \cdots + z_p^2 - z_{p+1}^2 - \cdots - z_{p+q}^2$$

其中 $p$ 是正惯性指数，$q$ 是负惯性指数

5. 正定二次型的判定

定义：若对所有 $x \neq 0$，都有 $f(x) > 0$，则二次型为正定

判定条件（等价）

• 所有顺序主子式均为正
• 矩阵 $A$ 的所有特征值都为正
• 矩阵 $A$ 可表示为 $A = B^T B$，其中 $B$ 为满秩矩阵（Cholesky 分解）
• 规范型中不含负项

七、空间解析几何

1. 空间直线的方程

点向式

过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，方向向量为 $\vec{d} = (l, m, n)$ 的直线方程：

$$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$$

参数式

$$\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}$$

2. 空间平面的方程

点法式

过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$ 的平面方程：

$$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$

一般式

$$Ax + By + Cz + D = 0$$

3. 二次曲面

常见二次曲面的分类

• 椭球面：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$

• 旋转面：曲线绕坐标轴旋转形成的曲面

• 柱面：母线平行于某方向，准线为给定曲线的曲面

• 锥面：过定点（顶点）的所有直线形成的曲面

参数消去法

设参数方程，消去参数得到笛卡尔方程进行分析